【忍者算法】从照片旋转到矩阵变换：探索图像旋转问题｜LeetCode 48 旋转图像

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从照片旋转到矩阵变换：探索图像旋转问题

生活中的旋转

在这个自拍时代，我们经常需要调整照片的方向。有时拍出来的照片歪了，需要旋转90度；有时想要换个角度看看效果，来回旋转照片。这种旋转操作不仅存在于我们的日常生活中，在计算机图形学、图像处理等领域也是一个基础且重要的操作。
问题描述

LeetCode第48题"旋转图像"要求我们：给定一个 n × n 的二维矩阵 matrix 表示一个图像，将图像顺时针旋转 90 度。要求必须在原地旋转图像，也就是说，你需要直接修改输入的二维矩阵。
例如：
输入：matrix = [[1,2,3],                [4,5,6],                [7,8,9]]输出：[[7,4,1],       [8,5,2],       [9,6,3]]就像我们在手机相册里旋转照片一样，每个像素点都要移动到新的位置，但我们需要保证不使用额外的存储空间！
最直观的解法：辅助数组

最简单的想法就像我们复印一张照片，在新的纸上重新排列像素。虽然这种方法使用了额外空间，不符合题目要求，但它帮助我们理解旋转的本质。
辅助数组的实现

public void rotate(int[][] matrix) {    int n = matrix.length;    // 创建一个新的n×n数组    int[][] temp = new int[n][n];        // 将原矩阵旋转90度后的结果存入临时数组    for (int i = 0; i < n; i++) {        for (int j = 0; j < n; j++) {            // 关键转换：第i行第j列的元素，旋转后变成第j行第(n-1-i)列            temp[j][n-1-i] = matrix[j];        }    }        // 将结果复制回原矩阵    for (int i = 0; i < n; i++) {        for (int j = 0; j < n; j++) {            matrix[j] = temp[j];        }    }}优化解法：原地旋转

仔细观察，我们发现90度旋转可以通过两步简单的操作完成：先沿对角线翻转，再沿竖直中线翻转。就像折纸一样，通过两次折叠就能达到旋转的效果！
原地旋转的原理

想象你在玩魔方：

• 第一步：沿主对角线翻转（左上到右下的对角线）
  
  
  
  • [i,j] 变成 [j,i]
    
  
  
• 第二步：沿竖直中线翻转
  
  
  
  • [i,j] 变成 [i,n-1-j]
    
  
  

示例运行

用3×3矩阵来说明：
原始矩阵：    对角线翻转：    竖直中线翻转：1 2 3         1 4 7          7 4 14 5 6   →     2 5 8    →     8 5 27 8 9         3 6 9          9 6 3第一步：对角线翻转- (1,2)和(2,1)交换- (1,3)和(3,1)交换- (2,3)和(3,2)交换第二步：竖直中线翻转- 第1列和第3列交换- 第2列保持不变Java代码实现

public void rotate(int[][] matrix) {    int n = matrix.length;        // 步骤1：沿主对角线翻转    for (int i = 0; i < n; i++) {        for (int j = i; j < n; j++) {            // 交换matrix[j]和matrix[j]            int temp = matrix[j];            matrix[j] = matrix[j];            matrix[j] = temp;        }    }        // 步骤2：沿竖直中线翻转    for (int i = 0; i < n; i++) {        for (int j = 0; j < n/2; j++) {            // 交换matrix[j]和matrix[n-1-j]            int temp = matrix[j];            matrix[j] = matrix[n-1-j];            matrix[n-1-j] = temp;        }    }}解法比较

让我们比较这两种方法：
辅助数组法：

• 时间复杂度：O(n²)
  
• 空间复杂度：O(n²)
  
• 优点：直观易懂，容易实现
  
• 缺点：需要额外空间，不满足原地旋转的要求
  

原地旋转法：

• 时间复杂度：O(n²)
  
• 空间复杂度：O(1)
  
• 优点：不需要额外空间，完美满足题目要求
  
• 缺点：需要理解矩阵变换的数学原理
  

实用技巧总结

解决矩阵旋转问题的关键点：

• 观察旋转前后元素位置的对应关系
  
• 寻找可以分解的子操作（如翻转）
  
• 正确处理边界情况
  
• 小心不要重复交换元素
  

相关的矩阵变换问题：

• 矩阵转置
  
• 矩阵对称变换
  
• 顺时针/逆时针旋转任意角度
  

小结

通过旋转图像这道题，我们学会了如何通过巧妙的数学变换来完成矩阵旋转。这种思维方式不仅能解决算法题，在图像处理、计算机图形学等领域都有广泛应用。记住，当遇到需要变换矩阵的问题时，可以考虑将复杂的变换分解为简单的操作组合，这样往往能得到更优雅的解决方案！
<hr>作者：忍者算法
公众号：忍者算法
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