【知识点】二分查找的区间到底是开还是闭？
二分查找的区间到底是开还是闭？在这两个月的时间里，我似乎没有产出任何的有关知识点的文章，大多数都是题解相关的内容。以至于许多人觉得 Macw07 “失踪”了。本文是我来到北美之后的第一篇知识点文章，请大家多多关照。
这次不讲难的知识点了，讲一个大家都熟悉的，但又非常令人抓毛的算法：二分查找和二分答案算法。
引言 Introduction
注意：本文仅针对了解过二分查找基本算法原理的用户群体，若您从未接触过或了解过该算法，请先学习基础的二分查找算法。
二分查找算法是大家一个再熟悉不过的算法了，二分查找算法可以在一个 有序数列 中高效地查找某个或多个特定的目标值。一般来说，二分查找的时间复杂度在 \(O(\log_2 N))\) 级别。二分算法非常适合在大数据集上实现快速查询。与此同时，除了基本的二分查找算法，它的许多变种也被广泛应用于各种场景，比如求最大值、最小值，甚至在复杂的数据结构中优化数据的查找性能。
许多同学肯定在学习完基本的二分查找后一直有一个疑问：我到底该如何设置 \(L\) 和 \(R\) 的区间闭合状态？什么时候需要输出 \(L\) 或 \(R\)，为什么有时候还需要 \(+1\)？\(\text{Mid}\) 到底保存的是什么东西？etc.
事实上，区间开闭的变量定义 确实是一个核心且容易混淆的问题，在 CSP 考试中也常考此知识点，因此本文将重点围绕区间开闭的变量定义来展开。
二分查找的基本原理 Basic Principles of Binary Search
在深入讨论区间开闭之前，有必要回顾一下二分查找的基本原理。二分查找通过反复将搜索区间分成两半，逐步缩小目标值所在的范围，直到找到目标值或确定其不存在。具体步骤如下：
[*]初始化：设定搜索区间的左右边界 \(L\) 和 \(R\)。
[*]计算中点：计算中点 \(M = L + \dfrac{R - L}{2}\)。
[*]比较
：将目标值与中点元素进行比较。
[*]若相等，返回中点位置。
[*]若目标值小于中点元素，缩小搜索区间至左半部分。
[*]若目标值大于中点元素，缩小搜索区间至右半部分。
[*]重复：重复上述步骤，直到找到目标值或搜索区间为空。
开区间/闭区间Open Interval/Closed Interval
在文章开始，先了解一下区间的开闭性。
开区间
定义：开区间表示区间的端点 不包含在区间内，用小括号 \(()\) 表示。
示例：\((2, 5)\) 表示所有介于 \(2\) 和 \(5\) 之间的数，但不包含数字 \(2\) 和 \(5\)。
闭区间
定义：开区间表示区间的端点 包含在区间内，用方括号 \([]\) 表示。
示例：\(\) 表示所有介于 \(2\) 和 \(5\) 之间的数，而且包含数字 \(2\) 和 \(5\)。
半开区间/半闭区间
定义：半开区间或半闭区间表示区间的一个端点包含在内，另一个端点不包含在内。
示例：\((2, 5]\) 表示所有介于 \(2\) 和 \(5\) 之间的数，且包含数字 \(5\)，但不包含数字 \(2\)。
区间类型表示方式是否包含左端点 \(a\)是否包含右端点 \(b\)开区间\((a, b)\)否否闭区间\(\)是是左开右闭\((a, b]\)否是左闭右开\(是否区间开闭的类型 Interval Categories
在实现二分查找的时候，区间的定义是最常见的一个问题，你可能会看到过以下不同的区间开闭性的定义：
[*]左开右开 \((\text{left}, \text{right})\)
[*]左闭右闭 \([\text{left}, \text{right}]\)
[*]左开右闭 \((\text{left}, \text{right}]\)
[*]左闭右开 \([\text{left}, \text{right})\)
通常来说，我们一般会选择【左闭右开】或者【左闭右闭】的区间定义，所以本文也就着重围绕这两个部分讲解。但对于不同的定义区间，如果稍有不慎，就容易使代码进入 死循环。
左闭右闭区间
定义：搜索区间包括 left 和 right，即 left 和 right 都可能是目标值。
退出条件：left > right，表示搜索区间为空。
左闭右闭区间的二分查找的常见写法如下：
while (left <= right) { // 注意是 <= int mid = left + (right - left) / 2; if (nums == target) { return mid; } else if (nums < target) { left = mid + 1; // } else { right = mid - 1; // }}左闭右开区间
定义：搜索区间包括 left 但不包括 right，即目标值可能是 left，但不可能是 right。
退出条件：当 left == right 时，表示搜索区间为空。
左闭右开区间的二分查找的常见写法如下：
while (left < right) { // 注意是 < int mid = left + (right - left) / 2; if (nums == target) { return mid; } else if (nums < target) { left = mid + 1; // 两种区间的迭代过程中的差异 Differences During Iterating
left 的更新：
[*]左闭右闭：left = mid + 1，因为 mid 已经被检查过了，mid+1 开始的新区间仍是闭区间。
[*]左闭右开：left = mid + 1，保持 right 的开区间性质。
right 的更新：
[*]左闭右闭：right = mid - 1，因为 mid 已经被检查过了，mid-1 保证了闭区间不重复。
[*]左闭右开：right = mid，将 mid 排除，保证开区间不包含 right。
退出条件：
[*]左闭右闭：循环结束条件为 left > right。
[*]左闭右开：循环结束条件为 left == right。
两种区间的优缺点 Pros & Cons
左闭右闭的有点
[*]直观易懂：包括 left 和 right 的写法更加接近自然语言的描述，例如 “在 \(\) 区间查找目标值”。
[*]处理小区间：对于某些需要特别处理的小区间问题，左闭右闭可以更容易描述逻辑。
左开右闭的优点
避免数组越界：使用左闭右开区间，right 永远是无效位置，不会直接访问数组越界的索引。
逻辑一致性：左闭右开区间的范围在迭代过程中可以稳定保持逻辑清晰，容易与数学符号对应。
代码简洁：由于退出条件是 left == right，很多情况下可以直接用 left 返回结果，无需做出额外检查。
实际应用中的选择 Choosing the Right Interval in Practice
在实际应用中，选择使用左闭右闭还是左闭右开区间，往往取决于具体问题的需求和个人习惯。以下是一些指导原则：
[*]数组索引：在处理数组索引时，左闭右开区间更加自然，因为数组的索引从 0 到 n-1，左闭右开可以避免 n 的无效访问。
[*]范围划分：当需要频繁划分范围时，左闭右开区间的逻辑更清晰，减少了混淆和错误。
[*]边界条件：如果问题中涉及到明确的边界条件，如查找第一个或最后一个满足条件的元素，选择合适的区间类型可以简化逻辑。
典型例题分析 Exemplars
1. 在数组中查找目标值，返回索引
左闭右闭实现：
int binarySearch(vector<int>& nums, int target) { int left = 0, right = nums.size() - 1; while (left <= right) { int mid = left + (right - left) / 2; if (nums == target) { return mid; } else if (nums < target) { left = mid + 1; } else { right = mid - 1; } } return -1;}左闭右开实现：
int binarySearch(vector<int>& nums, int target) { int left = 0, right = nums.size(); while (left < right) { int mid = left + (right - left) / 2; if (nums == target) { return mid; } else if (nums < target) { left = mid + 1; } else { right = mid; } } return -1;}2. 在有序数组中找到目标值的插入位置
综上所述，左闭右开更适合这一场景，因为它的区间逻辑更加贴合“边界”问题：
int searchInsert(vector<int>& nums, int target) { int left = 0, right = nums.size(); while (left < right) { int mid = left + (right - left) / 2; if (nums < target) { left = mid + 1; } else { right = mid; } } return left; // 返回插入位置}复杂度分析 Complexity Analysis
二分查找的时间复杂度为 \(O(\log_2 N)\)，空间复杂度为 \(O(1)\)。这种高效性使得二分查找在处理大规模数据时表现出色。然而，二分查找的前提条件是数据必须是有序的，这在某些情况下可能需要额外的排序时间。
相关题目 Practice Problems
可以在阅读本文后自己实践一下以下题目：
[*]查找最接近的元素 在一个升序序列中，查找与给定值最接近的元素。
[*]二分法求函数的零点 已知函数在某区间内有且只有一个根，使用二分法求出该根。
[*]查找 x 给定一个升序序列（元素均不重复），在该序列中查找指定的值，若存在则输出对应的下标，否则输出 \(-1\)。
[*]二分查找 在 \(N\) 个从小到大排列且不重复的整数中，快速找到指定的数字 \(t\)，若找不到则输出 \(-1\)。
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